Introducción a la regresión polinómica

1. ¿Qué es la Regresión Polinómica?

La regresión polinómica es una técnica de modelado estadístico que se utiliza para capturar relaciones no lineales entre una variable independiente x y una variable dependiente y. A diferencia de la regresión lineal, que modela los datos como una línea recta, la regresión polinómica ajusta los datos utilizando una curva polinómica.

2. Definición Matemática

La ecuación general de una regresión polinómica de grado n es:

Donde:

  • y: Variable dependiente (respuesta o salida del modelo).
  • x: Variable independiente (entrada o predictor).
  • β0​: Intercepto o término constante.
  • β1,β2,…,βn​: Coeficientes del modelo que determinan la contribución de cada término x^k al valor de y.
  • x^k: Potencias de la variable independiente, donde k=1,2,…,n
  • ϵ: Término de error o ruido, que captura la desviación entre los valores observados y los predichos por el modelo.

3. Ejemplo con un polinomio de grado 2

Para un polinomio cuadrático (n=2), la ecuación sería:

Este modelo representa una parábola, que puede ser cóncava o convexa dependiendo de β2​ (cóncava para valores negativos).

4. Clasificación de polinomios según su grado

A medida que aumenta n, el modelo puede ajustarse a relaciones más complejas.

geeksforgeeks.org Degree of Polynomial

La elección del grado del polinomio depende del equilibrio entre subajuste y sobreajuste del modelo, evaluado mediante técnicas como la validación cruzada.

5. Ejercicio Práctico: Explorando Gráficas de Polinomios

En este ejercicio, usarás herramientas interactivas como GeoGebra o Desmos para explorar cómo los coeficientes y el grado de un polinomio afectan la forma de su gráfica. El objetivo es entender cómo los coeficientes (β0,β1,β2,…β0​,β1​,β2​,…) y el grado (n) influyen en la forma de una gráfica polinómica, observar características como raíces, intersección con el eje y, y la curvatura de las gráficas.

Dibuja un polinomio simple de grado 2:

y = x^2 + x

Ajusta los valores de β0,β1,β2​ y observa cómo cambian la posición y la forma de la parábola.

Explora polinomios de mayor grado (3,4..)

¿Qué ocurre con la gráfica al aumentar el grado del polinomio?

Mayor complejidad: Aumentar el grado del polinomio agrega más “curvaturas” a la gráfica, lo que significa que habrá más puntos de inflexión (cambios en la dirección de la curvatura).

Más raíces potenciales: El número máximo de intersecciones con el eje x aumenta con el grado. Por ejemplo, un polinomio de grado n puede tener hasta n raíces reales.

Ejemplo: y = 2x^3 − 3x^2 − 3x + 2 ecuación algebraica de tercer grado o ecuación cúbica con 3 intersecciones con el eje x.

¿Cómo afecta β0​ (el intercepto) a la posición de la gráfica?

β0​ representa el intercepto con el eje y, es decir, el valor de la función cuando x=0. Cambiar β0​ desplaza la gráfica hacia arriba o hacia abajo sin alterar su forma general (por ejemplo, β0=3, la gráfica pasará por (0,3), β0=−2, la gráfica pasará por (0,−2)).

Ecuación grado y = 2 + 2 x^3 + 4x^2 + x

¿Por qué usar Regresión Polinómica?

La regresión polinómica es útil cuando los datos presentan una relación no lineal que no puede ser capturada adecuadamente con una línea recta. Al permitir curvas más complejas, este método puede proporcionar un mejor ajuste para ciertos conjuntos de datos.

Ventajas

  1. Flexibilidad: Puede modelar relaciones no lineales complejas.
  2. Interpretación: Los coeficientes polinómicos pueden proporcionar información sobre la relación entre las variables.

Limitaciones

  1. Sobreajuste: Un polinomio de grado muy alto puede ajustarse demasiado a los datos de entrenamiento, capturando ruido en lugar de patrones reales.
  2. Complejidad computacional: A medida que aumenta el grado del polinomio, el modelo se vuelve más difícil de interpretar y puede requerir más recursos computacionales.

6. Referencias